VaR a ES/TVaR/CVaR bez mlžení aneb Kolik si máme připravit

Smyslem kvantitativní analýzy není budit dojem exaktnosti tam, kde máme jen omezená data. Smyslem je podpořit  správné rozhodnutí. Firma potřebuje vědět, jak velkou ztrátu ještě unese, kolik kapitálu, likvidity nebo pojistné ochrany má mít připraveno a kdy už riskuje, že ji určitý incident finančně zcela ochromí.

Právě proto nestačí jen říct, že „riziko je vysoké“ anebo že „může nastat velká škoda“. Management potřebuje alespoň orientačně vědět, o jakých částkách se  vůbec bavíme.

Teprve potom lze rozhodovat, zda dává smysl investovat do opatření, posílit rezervy, vyjednat úvěrovou linku, upravit limity pojištění nebo některá rizika vědomě přijmout.

Naštěstí tady máme VaR a ES, které nám umožňují celkem elegantně převést neurčité obavy do řeči peněz. VaR ukazuje hranici, kterou s vysokou pravděpodobností nepřekročíme a ES pak ukazuje, jak zle může být, když se věci opravdu pokazí. A právě tento rozdíl je pro řízení kybernetických rizik klíčový.

Nejprve si vysvětlíme, proč se vůbec díváme na VaR, jak se liší od ES, a pak krok za krokem spočítáme konkrétní škody. Na závěr si ukážeme, co ta čísla znamenají pro rezervy neboli absorpční kapacitu firmy, a přidáme i bonusový scénář, kdy nemáme plnou distribuci škod, ale jen několik orientačních bodů.

Co nám ukazuje VaR

Value at Risk, zkr. VaR nám jednou větou říká, že s pravděpodobností 95 % nebude roční ztráta vyšší než určitá hranice. Hladina 95 % je v praxi rozumný kompromis. Není příliš nízko, aby byla měkká, a zároveň není tak vysoko, aby odhad stál na několika málo extrémech. U hladin typu 99 %, se kterými se rovněž počítá, už bývá problém, že v ocasu máme příliš málo dat a výsledek je křehčí, než na první pohled vypadá.

Potíž je však v tom, že VaR sice ukáže hranici, ale už neřekne, co se děje za ní. Můžeme mít VaR 95 = 10 mil. Kč, ale v oněch nejhorších 5 % případů mohou být ztráty lehce nad 10, anebo také podstatně výš. A právě to je rozdíl, který firmu v praxi zajímá resp. by ji měl zajímat.

Co nám ukazuje ES

Expected Shortfall, zkráceně ES, se dívá za hranu VaR. Neptá se jen, kde začíná špatný ocas. Ptá se, jak velké ztráty tam v průměru skutečně leží.

V mnoha praktických textech se vedle názvu ES objevují i CVaR nebo TVaR. Často se používají téměř zaměnitelně, i když v některých odborných kontextech se definice mohou jemně lišit. Pro náš účel je hlavní to, že všechny míří ke stejné myšlence: nestačí znát práh, chceme znát i průměr v ocasu.

Jak spočítat VaR 95 a ES 95 z LEC

Předpokládejme, že už máme LEC křivku. Na ose Y je pravděpodobnost překročení Pr(S > x), na ose X je škoda v mil. Kč. Na křivce vidíme mimo jiné tyto body:

• 5 % → 10
• 4 % → 12
• 3 % → 15
• 2 % → 18
• 1 % → 22
• 0 % → 40

Jakmile na ose Y najdeme 5 %, odpovídající hodnota na ose X je VaR 95. V našem příkladu tedy platí:

VaR 95 = 10 mil. Kč

No, jo, ale může být ještě hůř? Může, a dokonce mnohem hůř. A proto se musíme ptát: jaká je průměrná ztráta v těch nejhorších 5 % případů?

Rychlý odhad ES

Pro hrubou představu si můžeme vzít všech pět jednoprocentních pásem a jako zástupce použít body:

[10, 12, 15, 18, 22]

Pak dostaneme tento orientační průměr:

ES = (10 + 12 + 15 + 18 + 22) / 5 = 15,4 mil. Kč

Tohle je ale jen pomůcka vhodná pro takový rychlý odhad. Kdo by si z ní odnesl, že ES je prostě průměr několika bodů za VaR, ten by si odnesl zkratku, ne přesný výklad.

ES jako průměr v ocasu

ES je podmíněná střední hodnota ztráty v ocasu za prahem VaR. U LEC se na něj můžeme dívat jako na plochu pod grafem funkce překročení napravo od VaR, přepočtenou na podmíněný průměr přes oněch 5 % nejhorších případů.

Jinými slovy: nepočítáme plochu pod hustotou, ale pracujeme s plochou pod grafem funkce překročení Pr(S > x). Výpočet této plochy zde provádíme numericky z diskrétních bodů, tedy jako aproximaci. Numericky po úsecích:

[10, 12]: 2 × (0,050 + 0,040) / 2 = 0,090

[12, 15]: 3 × (0,040 + 0,030) / 2 = 0,105

[15, 18]: 3 × (0,030 + 0,020) / 2 = 0,075

[18, 22]: 4 × (0,020 + 0,010) / 2 = 0,060

[22, 40]: 18 × (0,010 + 0,000) / 2 = 0,090

Součet těchto aproximovaných ploch je 0,420. Abychom zjistili průměrný exces v tomto ocasu, musíme tuto hodnotu vydělit 0,05. A protože VaR 95 vyšlo 10 mil. Kč, musíme jej k tomuto průměrnému excesu ještě přičíst:

ES 95 ≈ 10 + (0,420 / 0,05) ≈ 10 + 8,4 ≈ 18,4 mil. Kč

A to je přesně ten moment, kdy je jasně vidět, proč samotný VaR nestačí. Hranice špatného roku je sice 10 mil. Kč, ale průměr v opravdu špatných letech je výrazně vyšší 18,4 mil. Kč. A to je něco, co řádný hospodář rozhodně nemůže ignorovat.

Tail-uplift aneb jak tlustý je ocas

Praktická otázka zní: o kolik je ES vyšší než VaR? Jedna jednoduchá pomůcka je tail-uplift:

U = ES / VaR − 1

V našem příkladu:

U = 18,4 / 10 − 1 = 0,84

Tedy 84 %. To znamená, že průměrná ztráta v ocasu je o 84 % vyšší než samotná hranice VaR. A to je signál, že ocas není kosmetická poznámka pod čarou, ale věc, která má určovat kapacitní úvahy. Následující rozdělení berte jako praktickou heuristiku, ne jako univerzální zákon:

• je-li uplift nízký, VaR bývá pro orientaci relativně použitelný,
• je-li uplift střední, dává smysl přidat buffer,
• je-li uplift vysoký, kapacitu je rozumné dimenzovat spíš podle ES než podle samotného VaR.

Škody nejsou nekonečné

V praxi často existuje nějaký strop (cap). Jen je dobré říct, jaký strop máme na mysli. Může jít o skutečný technický či smluvní limit škody, ale stejně tak o maximálně financovatelnou škodu, kterou jsme schopni unést. Když tedy řekneme, že škoda je zastropovaná (capovaná), znamená to, že model ztráty měníme tak, aby nad určitou hranici už nešla.

Pokud bychom horní část ocasu shora omezili na 16 mil. Kč,  tedy mezi body 15 a 18, ES klesne. Extrémní pravá část ocasu už nemůže pokračovat k vyšším hodnotám. Pro rychlou představu můžeme vzít zjednodušenou pětici: [10, 12, 15, 16, 16] a Orientačně pak vyjde ES 95 ≈ 13,8 mil. Kč.

Opět je to jen rychlý odhad pro intuici, ne přesná definiční hodnota. Ale směr je zřejmý: jakmile pravý ocas omezíme, ES klesá a rozdíl mezi VaR a ES se zmenšuje.

Co jsme tedy vlastně spočítali a co s tím dál dělat

Co z toho tedy plyne prakticky? Především to, že hodnota ES 95 ≈ 18,4 mil. Kč neříká, kolik má firma držet na běžném účtu, ale jakou ztrátově absorpční kapacitu by měla být schopna složit, pokud přijde opravdu zlý rok a realizuje se katastrofický scénář. V praxi proto dává smysl uvažovat tři vrstvy.

• likvidní rezerva, která má pokrýt první dny a týdny po incidentu, tedy forenzní práce, právní služby, krizovou komunikaci, externí specialisty a první obnovu provozu. U podobného profilu rizika působí realisticky držet přibližně 2 až 4 mil. Kč, přičemž rozumný střed představují asi 3 mil. Kč.
• předjednaná úvěrová kapacita, která nemá nahrazovat rezervu, ale doplnit ji ve chvíli, kdy incident začne spolykat vyšší částky a firma nechce být odkázána na improvizaci. U společnosti, která čelí VaR 95 = 10 mil. Kč a ES 95 ≈ 18,4 mil. Kč, dává smysl mít připravenou revolvingovou nebo jinou provozní linku zhruba v rozsahu 5 až 8 mil. Kč, přičemž jako realistický rámec lze považovat asi 6 mil. Kč.
• pojištění by nemělo být chápáno mechanicky jako číslo opsané ze smlouvy, ale jako skutečně použitelná vrstva krytí po zohlednění spoluúčasti, sublimitů, čekacích dob a výluk. Právě zde totiž bývá rozdíl mezi papírovým limitem a reálně využitelným plněním často nepříjemně viditelný. Pro daný příklad proto nepůsobí nadsazeně uvažovat nominální pojistný limit přibližně 10 až 15 mil. Kč, z něhož by po odečtení všech praktických omezení mohla firma reálně získat asi 8 až 12 mil. Kč.

Jinými slovy, firma nemusí držet 18,4 mil. Kč v hotovosti, ale měla by být schopna tuto úroveň zhruba složit. Realistická konstrukce tedy může vypadat například tak, že bude mít kolem 3 mil. Kč v okamžitě dostupné rezervě, kolem 6 mil. Kč v předjednané úvěrové kapacitě a zhruba 10 mil. Kč v reálně použitelné pojistné ochraně. Teprve takové vrstvení dává číslu ES praktický význam.

Jak spočítat VaR 95 a ES 95 z expertního odhadu dolní a horní hranice škody

A přidáme ještě jeden praktický příklad. Dle oslovených expertů škoda v daném roce nastane s pravděpodobností 15 % a bude se pohybovat někde od 1 do 10 mil. Kč.

U lognormálního rozdělení neexistuje konečné maximum v pravém slova smyslu. Proto nebudeme tvrdit, že 1 mil. je minimum a 10 mil. maximum. Místo toho budeme 1 mil. Kč chápat jako 5. percentil a 10 mil. Kč jako 95. percentil rozdělení škody v těch případech, kdy škoda skutečně nastane. A budeme kalibrovat rozdělení ze dvou orientačních kvantilů.

Nejprve spočteme μ, což je střední hodnota logaritmu škody, tedy poloha rozdělení v logaritmickém prostoru a σ, což je směrodatná odchylka logaritmu škody, tedy míra rozptýlení rozdělení v logaritmickém prostoru. Tyto parametry budeme potřebovat v obou výpočtech.

μ = (ln(q_0,05) + ln(q_0,95)) / 2

μ = (ln(1) + ln(10)) / 2 = (0 + 2,302585) / 2 ≈ 1,151

σ = (ln(q_0,95) − ln(q_0,05)) / (2 · 1,645)

σ = (ln(10) − ln(1)) / (2 · 1,645) = (2,302585 − 0) / 3,29 ≈ 0,700

A protože v našem případě 85 % let nemá žádnou škodu, zabírá nulová ztráta prvních 85 % celého rozdělení roční ztráty. Hledáme však 95. percentil. To znamená, že se musíme posunout ještě o dalších 10 procentních bodů. Těchto 10 % ale nehledáme v celém rozdělení, nýbrž už jen uvnitř škodní části, která tvoří pouze 15 % všech roků.

Spočteme hledaný percentil:

p = (0,95 − 0,85) / 0,15 = 2/3 ≈ 0,667

To znamená, že nejhorších 5 % všech roků odpovídá v tomto scénáři horní třetině škodních roků. Expected Shortfall tedy představuje průměrnou škodu právě v této části rozdělení. Dohledáme odpovídající kvantil standardního normálního rozdělení:

z_2/3 ≈ 0,431

Výpočet VaR 95

U lognormálního rozdělení platí pro kvantil tento vztah:

VaR = exp(μ + σ · z_p)

Kde:

p je hledaný percentil,
z_p je odpovídající kvantil standardního normálního rozdělení.

Hodnoty, které jsme si spočetli výše, dosadíme do vzorce:

VaR 95 ≈ exp(1,151 + 0,700 · 0,431)

VaR 95 ≈ 4,28 mil. Kč

Výpočet ES 95

Pro lognormální rozdělení lze Expected Shortfall na hladině p zapsat takto:

ES(p) = exp(μ + σ² / 2) · (1 − Φ(z_p − σ)) / (1 − p)

Kde:

Φ je distribuční funkce standardního normálního rozdělení,

Hodnoty, které jsme si spočetli výše, dosadíme do vzorce:

ES(p) = exp(1,151 + 0,700² / 2) · (1 − Φ(0,431 − 0,700)) / (1 − 2/3)

ES(p) = exp(1,396) · (1 − Φ(−0,269)) / (1/3)

ES(p) = 4,04 · 0,606 / (1/3)

ES 95 ≈ 7,35 mil. Kč

Výsledek znamená, že hranice špatného roku leží přibližně na úrovni 4,28 mil. Kč. Pokud však už spadneme do nejhorších 5 % roků, bude průměrná ztráta vyšší, přibližně 7,35 mil. Kč.

Závěr

VaR je dobrý začátek, ale špatný konec. Řekne nám, kde začíná problém, ale teprve ES nám ukáže, jak velké ztráty můžeme očekávat, když se problém opravdu rozvine. V našem hlavním příkladu vyšlo VaR 95 = 10 mil. Kč a ES 95 = 18,4 mil. Kč, což  rozhodně není zanedbatelný detail, ale naprosto zásadní rozdíl mezi představou o špatném roce a jeho skutečnou finanční vahou. A nejinak tomu bylo i ve druhém příkladu. Pokud má firma výrazný ocas škod, neměla by se při návrhu absorpční kapacity, rezerv a pojistného krytí dívat jen na VaR, ale také na ES. Jinými slovy, VaR ukáže práh. ES ukáže, co bývá za prahem. A právě tam se často rozhoduje, zda firma incident pouze pocítí, nebo zda jí vážně poškodí provoz, finance i budoucnost.

Pokud se vám líbí naše články, tak zvažte podporu naši práce – Naskenujte QR kód a přispějte libovolnou částkou.

Děkujeme!

Štítky: CRQ