Používáte matici rizik a mohl bych ji vidět?
5. díl

Jelikož ty zatracené matice rizik stále nedávají některým z vás spát, tak se k nim opět na chvíli vrátíme.

Mnozí z vás se totiž celkem logicky ptají: „Dobře, když je problém v tom, že se v klasické matici rizik nesmí sčítat nebo násobit ordinální hodnoty, tak je prostě nahradíme kardinálními reprezentanty a problém je vyřešen, ne?“

Na první pohled to vypadá rozumně. Místo ordinální stupnice 1, 2, 3, 4 dáme na osu dopadu konkrétní hodnoty škody L, tedy v zásadě Single Loss Expectancy, zkr. SLE. Na osu frekvence dáme konkrétní hodnoty F, tedy v zásadě Annual Rate of Occurrence, zkr. ARO. Použijeme logaritmickou stupnici, budeme počítat R = L · F a dostaneme očekávanou roční ztrátu. Matice nám zůstane, ale uvnitř už zdánlivě máme kvantitativní přístup.

Jenže právě tady začíná být zajímavé, co se v takové matici ve skutečnosti děje.

Reprezentanty používají obě matice

Je fér říct jednu věc hned na začátku: i klasická ordinální matice ve skutečnosti často pracuje s reprezentanty. Hodnota 1, 2, 3 nebo 4 obvykle nezastupuje přesné měření (tj. víme, kde je nula a jak veliká je jedna jednotka), ale celé pásmo dopadu nebo pravděpodobnosti. Například „dopad 3“ může znamenat vysokou škodu a „pravděpodobnost 4“ velmi častý výskyt.

Problém tedy není v samotné existenci reprezentanta. Problém je v tom, jaký typ reprezentanta používáme a jaké operace s ním potom provádíme.

Pokud hodnota 3 znamená pouze „třetí nejzávažnější pásmo“, pak ji nelze bez dalšího násobit hodnotou 4, která znamená „čtvrté pásmo pravděpodobnosti“. Taková čísla nesou pořadí, nikoli relativní či dokonce absolutní velikost (na to potřebujeme mít nulu a jednotku míry). Neříkají, že čtyřka je dvakrát víc než dvojka, ani že rozdíl mezi 1 a 2 odpovídá rozdílu mezi 3 a 4.

Log-log varianta tento konkrétní problém částečně napravuje. Hodnota 3 už nemusí znamenat neurčité třetí pásmo dopadu, ale například reprezentanta L = 10⁶ Kč. Hodnota 4 u frekvence už nemusí znamenat neurčité čtvrté pásmo pravděpodobnosti, ale například F = 10¹ událostí ročně. Pak už skutečně nenásobíme ordinální skóre, ale zvolené kardinální reprezentanty.

To je matematicky čistší. Ale čistší ještě neznamená vyřešené. Zadělali jsme si tím na celou řadu dalších problémů.

Log-log matice jako mřížka řádových reprezentantů

V čisté podobě může log-log matice fungovat například takto:

• škody L nebereme jako ordinální hodnoty 1, 2, 3, 4, ale jako několik předem zvolených řádových reprezentantů, například 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷ Kč,
• frekvence F nebereme jako ordinální hodnoty 1, 2, 3, 4, ale jako několik předem zvolených řádových reprezentantů, například 10^-2, 10^-1, 10⁰, 10¹ událostí ročně,
• každá buňka pak neodpovídá kombinaci dvou ordinálních skóre, ale kombinaci dvou kardinálních reprezentantů L a F,
• riziko se počítá jako R = L · F, případně v logaritmickém zápisu jako log₁₀ R = log₁₀ L + log₁₀ F.

Tím se skutečně odstraní nejhrubší chyba klasické matice, tedy aritmetické operace s ordinálními hodnotami. Už nenásobíme třetí kolonku dopadu čtvrtou kolonkou frekvence. Násobíme konkrétní hodnoty, například 10⁶ Kč a 10^-1 událostí ročně.

Jenže tato čistota má svou cenu. Hodnoty 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷ nejsou intervaly. Jsou to reprezentanti. Pokud tedy reálná škoda leží mezi nimi, například 3 · 10⁵ Kč, musí být zaokrouhlena, převedena nebo jinak přiřazena k jednomu z předem povolených bodů. A ještě horší zaokrouhlení a ztráta rozlišovací schopnosti nastane u ročních četností událostí.

Matice pak nepracuje se spojitou realitou, ale s několika řádovými zastávkami a ty řádové skoky nám vůbec nepomáhají jednotlivé situace rozlišovat a hodnotit. Matematicky elegantně nám pes, koza a člověk padnou do stejné váhové kategorie 10-100kg a máme jim tedy narkózu dávkovat stejně.

Problém intervalových pásem nezmizel

V praxi ale matice rizik málokdy pracuje jen s jedním konkrétním číslem. Obvykle pracuje s pásmy:

• škoda L se neudává jako jedno číslo, ale jako interval typu „statisíce až miliony“,
• frekvence F také, například „jednou za 10 let“ nebo „1 až 10 krát ročně“.

Formálně:

• pásmo škody L_j reprezentuje interval [L_j^min, L_j^max],
• pásmo frekvence F_i reprezentuje interval [F_i^min, F_i^max].

Každá buňka matice pak nepokrývá jeden scénář, ale celou množinu scénářů:

(L, F) takové, že L ∈ [L_j^min, L_j^max] a F ∈ [F_i^min, F_i^max].

Pro každý konkrétní scénář (L, F) platí:

R = L · F.

Pokud má taková matice dávat elementární smysl, musí splňovat jednoduchou podmínku. Kdykoli je nějaká buňka označena jako nižší kategorie a jiná jako vyšší kategorie, pak žádné riziko z nižší buňky nesmí mít vyšší hodnotu R než riziko z vyšší buňky.

Jinak řečeno: žádné riziko označené jako „nízké“ nesmí mít vyšší očekávanou škodu než jakékoli riziko označené jako „střední“.

Pro dvě buňky A a B to znamená, že pokud má být buňka A vždy nižší než buňka B, musí platit:

L_A^max · F_A^max ≤ L_B^min · F_B^min.

Teprve tehdy máme jistotu, že ani nejvyšší možné riziko v nižší buňce nepřekročí nejnižší možné riziko ve vyšší buňce.

Jakmile tato podmínka splněna není, existuje scénář v buňce označené jako nižší kategorie, který má vyšší očekávanou škodu než některý scénář v buňce označené jako vyšší kategorie.

A tady se logaritmická matice dostává zpět ke stejnému problému jako běžná matice. Pokud její buňky reprezentují intervaly, pak každá buňka reprezentuje také interval možných hodnot R. A tyto intervaly se mohou překrývat.

Logaritmus problém pouze přesune

Logaritmická stupnice sama o sobě nic neopravuje. Pouze umožňuje pohodlněji zobrazit hodnoty, které se liší o několik řádů. Neříká ale nic o tom, zda buňky matice reprezentují konkrétní body, nebo celé intervaly hodnot.

Pokud log-log matice pracuje s konkrétními reprezentanty, například s hodnotami 10⁴, 10⁵, 10⁶ pro škodu a 10^-2, 10^-1, 10⁰ pro frekvenci, pak se problém intervalů dočasně ztratí. Ne proto, že by ho vyřešil logaritmus, ale proto, že jsme intervaly potichu odstranili.

Matice pak nepracuje s nejistotou uvnitř pásem, ale jen s několika povolenými body.

Pokud ale log-log matice pracuje s pásmy typu „od 10⁴ do 10⁵ Kč“ nebo „od 10^-2 do 10^-1 událostí ročně“, problém se vrací v plné síle. Každá buňka znovu reprezentuje celý interval možných hodnot rizika, nikoli jedno číslo. Logaritmická osa pouze změní měřítko obrázku. Nezmění matematickou povahu buňky.

Ano, intervaly lze navrhnout bez překryvů. Ale za jakou cenu?

Teoreticky by bylo možné namítnout, že intervaly lze navrhnout tak, aby se výsledné intervaly rizika nepřekrývaly. Tedy aby pro každou buňku označenou jako nižší kategorie a každou buňku označenou jako vyšší kategorie platilo, že nejvyšší možná hodnota rizika v nižší buňce je stále menší nebo rovna nejnižší možné hodnotě rizika ve vyšší buňce.

Jenže tím problém nezmizí. Pouze se přesune jinam.

Aby se výsledná rizika po vynásobení nepřekrývala, museli bychom mezi některými pásmy škod nebo frekvencí vytvořit umělé mezery. Reálné scénáře by pak padaly do prostoru, který matice neumí rozumně zařadit. Škoda nepřestane existovat jen proto, že se nevejde do předem nakresleného barevného políčka.

Vznikne tak zvláštní situace. Buď dovolíme spojité intervaly a smíříme se s tím, že se výsledná rizika mezi barevnými kategoriemi mohou překrývat, nebo intervaly roztrháme tak, aby se nepřekrývaly, ale tím vytvoříme mezery, které nemají věcný význam.

Matice pak už nepopisuje realitu. Realita se musí ohýbat podle matice.

Co tedy log-log matice skutečně řeší?

Log-log matice řeší jednu konkrétní námitku vůči běžným maticím: že nelze násobit ordinální hodnoty 1, 2, 3, 4.

Ano, pokud z těchto hodnot uděláme indexy mocnin deseti, už nenásobíme ordinální skóre, ale kardinální reprezentanty. To je krok správným směrem.

Jenže tím jsme zároveň přiznali, že výsledek nestojí na původních pásmech, nýbrž na několika arbitrárně zvolených bodech. Matice pak realitu neměří. Pouze ji zaokrouhluje na nejbližší povolený řád s poměrně drastickými důsledky pro reálnou použitelnost (rozlišujeme velmi hrubě jen mezi jednotlivými řády).

Rozdíl tedy není v tom, že jedna matice reprezentanty používá a druhá ne. Reprezentanty používají obě. Rozdíl je v tom, že ordinální matice používá reprezentanty pořadí, zatímco log-log matice používá reprezentanty velikosti. První nelze legitimně násobit. Druhé násobit lze, ale jen za cenu toho, že celá buňka je redukována na jeden zvolený bod.

Závěr

Log-log matice tedy není záchrana matice rizik. Je to pouze výměna chybného násobení ordinálních hodnot za násobení několika předem zvolených kardinálních reprezentantů s obrovskou kompresí rozsahů, která vede k drastické ztrátě rozlišovací schopnosti.

To je matematicky čistší, ale neřeší to strukturální problém buňky. Buď buňka představuje jeden pevný bod, a pak ignoruje nejistotu uvnitř pásma, nebo představuje interval, a pak se vrací problém překryvu výsledných hodnot rizika.

Logaritmus na osách to nezachrání. Jen to celé vypadá vzdělaněji a v reálné praxi to dopadne špatně – většina rizik vám spadne do jednoho pytle.

Pokud se vám líbí naše články, tak zvažte podporu naši práce – Naskenujte QR kód a přispějte libovolnou částkou.

Děkujeme!

Štítky: matice rizik