Oříznout, nebo zastropovat?
Krotíme pravý ocas lognormálního rozdělení

V CRQ často modelujeme dopad pomocí lognormálního rozdělení. Lognormal je ale neomezený, má nekonečný pravý ocas, což někdy nechceme, protože chceme zabránit tomu, aby model generoval ekonomicky nemožné škody.

V zásadě máme dvě jednoduché možnosti, jak k tomuto problému prakticky přistoupit v rámci lognormálního modelu, a to truncaci (oříznutí) a capování (zastropování). V tomto článku si rozebereme oba tyto přístupy.

Oříznutí škody

Oříznutý lognormal, tedy truncated lognormal, na intervalu [L, U] znamená, že nejprve uvažujeme původní lognormální veličinu Y, ale do výsledného modelu pustíme pouze ty realizace, které splní podmínku L ≤ Y ≤ U. Jde tedy o lognormál podmíněný tím, že se realizace nachází v daném intervalu.

V praxi rozlišujeme:

• right-truncated neboli shora oříznutý lognormal: Y ≤ U,
• two-sided truncated neboli oboustranně oříznutý lognormal: L ≤ Y ≤ U.

Matematicky lze truncaci vyjádřit tak, že X má rozdělení veličiny Y za podmínky L ≤ Y ≤ U.

Hodnoty mimo interval se do modelu nepustí. Nejsou capovány, nejsou přesunuty na hranici. Prostě zmizí a rozdělení uvnitř intervalu se znovu normalizuje.

Metoda 1: Rejection sampling (generujeme znovu, dokud se netrefíme)

Nejjednodušší implementace truncated lognormal je rejection sampling. Postupujeme takto:

• vygenerujeme Y ~ Lognormal(μ, σ),
• pokud L ≤ Y ≤ U, hodnotu přijmeme a uložíme,
• pokud ne, hodnotu zahodíme a generujeme znovu.

Tento postup je korektní a často naprosto dostačující. Dává smysl zejména tehdy, když je pravděpodobnost, že se trefíme do intervalu, rozumně vysoká. Rejection sampling může být výpočetně nepříjemný, pokud je interval příliš úzký nebo pokud je velká část pravděpodobnostní hmoty mimo [L, U]. V takovém případě budeme mnoho hodnot zahazovat a generování bude pomalé.

Metoda 2: Inverzní transformace přes CDF bez opakování

„Čistší“ a často i rychlejší způsob je generovat oříznutý lognormál přes distribuční funkci, tedy CDF. Využijeme, že pro truncaci na [L, U] nám stačí losovat uniformně jen v části distribuční funkce odpovídající tomuto intervalu.

V následujících vzorcích předpokládejme, že mu a sigma jsou parametry lognormálního rozdělení v logaritmickém prostoru. V Excelu bychom to mohli udělat například takto:

• Dolní CDF mez (a): a = NORM.S.DIST((LN(L)-mu)/sigma;PRAVDA)
• Horní CDF mez (b): b = NORM.S.DIST((LN(U)-mu)/sigma;PRAVDA)
• Jedna vygenerovaná škoda (X) z oříznutého lognormálu: X = EXP(mu + sigma*NORM.S.INV(a + RAND()*(b-a)))

Výhodou je, že nic nezahazujeme a generování má stabilní čas. Tato metoda je vhodná, když bychom u rejection samplingu očekávali mnoho opakování.

Dílčí shrnutí

Rejection sampling je jednoduchý, korektní a často stačí, ale může být pomalý, pokud je interval úzký. Inverze CDF je elegantní, bez zahazování a vhodná pro úzké intervaly nebo těžké ocasy. Truncaci používáme typicky tehdy, když:

• máme explicitní tvrdé meze dopadu a hodnoty mimo interval do modelu opravdu nechceme pustit,
• modelujeme pouze určité pásmo škod, například běžné škody bez extrémů,
• chceme sladit dopad s tím, jak data sbíráme, například reportované škody mají minimální práh a zároveň strop.

Zároveň si uvědomujeme, že truncace je vždy modelové rozhodnutí: říkáme tím, že hodnoty mimo interval do modelu nepustíme, i kdyby je čistý lognormál připouštěl. Pokud ale truncujeme přímo na intervalu mezi 5. a 95. percentilem, musíme počítat s tím, že jsme z modelu odstranili oba okraje rozdělení. Včetně pravého ocasu. Takový model může dávat smysl pro analýzu běžného pásma škod, ale není vhodný pro výpočet VaR99 nebo ES99.

Zastropování škody

U truncace hodnoty mimo interval zahodíme. U capování je nezahodíme, ale omezíme jejich finanční dopad horní mezí.

Capovaný model lze zapsat jako:

X = min(Y, U)

To znamená, že pokud původní lognormální model vygeneruje škodu nižší než U, ponecháme ji beze změny. Pokud ale vygeneruje škodu vyšší než U, započítáme ji právě jako U.

Zastropování na horní ekonomické mezi

Pokud horní mez nepředstavuje hranici, za kterou scénáře přestávají existovat, ale pouze hranici, za kterou už nemůže růst finanční dopad, pak je vhodnější capování.

Typickým příkladem je tržní hodnota firmy. Pokud modelujeme škodu na firmě, pak škoda může být velmi vysoká, může být existenční, může firmu zničit. Ale finanční škodu obvykle nedává smysl modelovat nad tržní hodnotu firmy.

V takovém případě můžeme pracovat s výchozí lognormální veličinou:

Y ~ Lognormal(μ, σ)

a finální realizovanou škodu definovat jako:

X = min(Y, M)

kde M je tržní hodnota firmy nebo jiný tvrdý ekonomický strop.

To znamená:

• expertní interval mezi 5. a 95. percentilem použijeme pro kalibraci tvaru lognormálního rozdělení,
• 95. percentil nebereme jako maximum, ale jako hodnotu, kterou škoda může v 5 % případů překročit,
• tržní hodnotu firmy bereme jako tvrdý strop, tedy jako skutečné maximum realizované ekonomické škody.

Tím zachováme pravý ocas nad 95. percentilem, takže můžeme dál počítat například VaR99 nebo ES99. Zároveň ale zabráníme tomu, aby model generoval škody nad hodnotou, která už ekonomicky nedává smysl.

Na co si dát u capování pozor

Capování má jednu slabinu: na horní mezi může vzniknout pravděpodobnostní hmota. Všechny hodnoty, které by původní lognormální model vygeneroval nad M, skončí přesně na hodnotě M.

Proto platí:

P(X = M) = P(Y ≥ M)

Jinými slovy, vždy bychom měli zkontrolovat, kolik simulovaných scénářů se na cap nalepí. Pokud je tato pravděpodobnost malá, capování je většinou v pořádku. Pokud je velká, není to drobná technická úprava, ale varování, že lognormální ocas je vzhledem k ekonomické realitě možná příliš těžký.

Prakticky:

• pokud je P(Y ≥ M) zanedbatelné, capování obvykle nevadí,
• pokud je P(Y ≥ M) významné, je vhodné přehodnotit parametry rozdělení nebo použít jiné rozdělení s přirozenou horní mezí,
• pokud chceme mít škodu od začátku omezenou, můžeme místo lognormálu uvažovat například beta-PERT nebo jiné bounded rozdělení.

Dílčí shrnutí

Capování dává větší smysl tehdy, když nechceme extrémní scénáře zahodit, ale víme, že jejich finanční dopad nemůže překročit určitou hranici.

Typicky:

• tržní hodnota firmy,
• hodnota konkrétního aktiva,
• pojistný limit, pokud modelujeme dopad na pojištěnou stranu,
• smluvní limit odpovědnosti,
• maximální realisticky dosažitelná finanční ztráta.

V takovém případě je rozdíl mezi 95. percentilem a skutečným maximem zásadní. Hodnota P95 není maximum. Znamená pouze, že v 5 % případů může být škoda vyšší. Skutečné maximum může být až tržní hodnota firmy nebo jiný tvrdý ekonomický strop.

Jednoduchý příklad

Pokud je horní mez U = 1 000 000 Kč a lognormální model vygeneruje hodnoty 300 000 Kč, 800 000 Kč, 1 200 000 Kč a 3 000 000 Kč, pak:

• u truncace zůstanou pouze hodnoty 300 000 Kč a 800 000 Kč (hodnoty nad mezí do modelu nepatří),
• u capování dostaneme 300 000 Kč, 800 000 Kč, 1 000 000 Kč a 1 000 000 Kč (extrémní scénář může existovat, ale finanční škoda se už nemůže projevit nad horní mezí).

Závěr

Pro škody omezené tržní hodnotou firmy nemusí být truncace tím nejlepším řešením. Pokud nechceme ztratit pravý ocas, ale zároveň nechceme modelovat ekonomicky nemožné škody, dává často větší smysl capování neboli zastropování. Vždy ale máme tyto možnosti:

• truncace: hodnoty nad mezí zahodíme,
• capování: hodnoty nad mezí stáhneme na mez,
• neomezený lognormal: hodnoty nad mezí ponecháme, i když už nemusí dávat věcný smysl.

 Nahrávání ...

Pokud se vám líbí naše články, tak zvažte podporu naši práce – Naskenujte QR kód a přispějte libovolnou částkou.

Děkujeme!

Štítky: CRQ